Урок-практикум Решение текстовых задач с неравенствами

  • Белова Елена Геннадьевна, заместитель директора по УВР

Цели:

  • формировать навыки решения задач с
    неопределённым условием;
  • cпособствать воспитанию общекультурных
    ценностей
  • развивать внимание при решении задач.

Ход урока

1. Организационный момент. Объявление темы и
целей урока.

2. Повторение.

а) запись натурального числа А с n знаками;
б) определение и свойства арифметической
прогрессии;
в) решение неравенств второй степени.

3. Введение материала.

Предлагаемые в большинстве случаев текстовые
задачи решаются с использованием уравнений и их
систем. Однако всё чаще встречаются задачи,
которые с помощью одних уравнений решить нельзя.
Это так называемые задачи с неопределённым
условием. На самом деле эта неопределённость
только кажущаяся. Для их решения необходимы не
только уравнения, но и неравенства, их системы, а
иногда и некоторые дополнительные условия, явно
не указанные в задаче.

Рассмотрим несколько таких задач.

1. Найти трёхзначное число, которое делится на 45,
и цифры которого, прочитанные в обратном порядке,
образуют арифметическую прогрессию.

Решение: пусть в искомом числе Х сотен, У
десятков и Z единиц. Так как числа Z, Y, X образуют
арифметическую прогрессию, то Y=(Z+X):2. Так как
искомое число делится на 45, то оно делится на 5 и
на 9. А это значит, что искомое число оканчивается
либо цифрой 5, либо цифрой 0, и в каждом из этих
случаев сумма его цифр делится на 9. Поэтому
приходим к совокупности двух систем уравнений
(отличающихся только первым уравнением):

Z=0Z=5
Y=(X+Z):2Y=(X+Z):2
X+Y+Z=9K;X+Y+Z=9K, K N.

Из первой системы находим

X=2Y
X+Y=9K.

Перебрав целые значения У от 1 до 9, убеждаемся,
что этой системе удовлетворяют лишь пары (6;3), (12;3);
(18;9). Однако по смыслу задачи Х и У – целые числа с
условиями 1

Из второй системы находим

2Y=X+5
X+Y+5=9K.

Аналогично, перебрав целые значения У от 1 до 9,
убеждаемся, что решениями второй системы
уравнений являются пары (1;3), (7;6).

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют
следующие три числа: 630, 135, 765.

2. Для перевозки животных было выделено
некоторое число вагонов из расчёта разместить в
каждом по 12 животных. На станции часть животных
сдали, а оставшихся разместили так, что 2 вагона
оказались лишними, при этом число животных в
каждом вагоне стало простым и на 14 больше нового
числа вагонов. Сколько животных было
первоначально?

Решение. Обозначим число вагонов через n,
тогда первоначальное число животных 12n. Новое
число вагонов, как это следует из условия, равно
n-2, а новое число животных в каждом из вагонов n+12.

Но неизвестно число сданных животных. Пробуем
рассуждать: так как первоначальное число
животных больше, чем осталось, то составим
неравенство 12n>(n-2)(n+12), решением которого будут
все числа из интервала(-4;6). Ограничиваясь целыми
положительными числами, получaем n принадлежит
интервалу (0;6).

Из условия также видно, что, поскольку 2 вагона
оказались лишними, общее их число было, по
крайней мере, не меньше 3, т.е. n принадлежит
промежутку [3;6). И, наконец, новое число животных в
вагоне простое. Легко сообразить, что это число
равно 5, так как, прибавив к нему 12, получим
простое число 17, а числа 16 и 15 простыми не
являются. Таким образом, n=5, а первоначальное
число животных равно 60.

4. Усвоение знаний, выработка навыков решения
задач.

А) Прибывших на парад солдат планировали
построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24
человека. Но в действительности не все прибывшие
смогли участвовать в параде, и их перестроили
так, что число рядов стало на 2 меньше, а число
человек в ряду на 26 больше нового числа рядов.
Если бы все солдаты участвовали в параде, то их
можно было бы построить так, чтобы число рядов
было равно числу человек в ряду. Сколько солдат
прибыло на парад?

Решение. Обозначим первоначальное число
рядов n, тогда прибыло 24n солдат. После построения
число рядов стало n-2, а число человек в ряду n+ 24.
Как в предыдущей задаче составляем неравенство
24n>(n-2)(n+24). Решая его, получаем, что число рядов
лежит в интервале (-6;8).Но мы использовали ещё не
все условия. Число рядов может быть лишь целым и
положительным, поэтому (0;8), т. е. всего семь чисел
от 1 до 7. А если ещё учесть перестройку квадратом,
то из первоначального числа (24n) должен
извлекаться корень. Единственное число,
удовлетворяющее последнему условию, это число 6,
а соответствующее число солдат равно 144.

Б) Бригады рабочих получали одежду на складе по
2 комплекта. Каждая бригада получила на 20
комплектов больше, чем было бригад. Если бы
бригад было на 4 больше и каждой выдавали по 12
комплектов, то одежды на всех не хватило бы.
Сколько комплектов было на складе?

Решение. Пусть было Х бригад и в каждой n
рабочих. Тогда число комплектов на бригаду 2n=X+20.
Если бы бригад было Х+4 и каждая получила по 12
комплектов, то общее количество комплектов (Х+4)12
превысило бы их количество на складе: (Х+4)12>2nX.
Решением данного неравенства являются все Х из
промежутка (-12;4), а с учётом положительности и
целочисленности Х ограничиваемся только тремя
натуральными числами: 1;2;3.

Вспоминая далее, что 2n=Х+20, Х=2(n-10), т.е. Х-чётное
число. Из оставшихся чётным является только 2, т.е.
n=11, а общее число комплектов на складе 2nX=44.

5. Подведение итогов, запись задания.

Задачи для домашнего задания:

А) Сумма в 95 коп. составлена из пятачков и
гривенников. Всего монет не более 14. Если все
гривенники заменить пятачками, а все пятачки —
гривенниками, то общая сумма уменьшится более
чем в 1,5 раза. Сколько пятачков и гривенников было
первоначально? Ответ: 1 пятачок и 9 гривенников.

Б) Имеется дробь, у которой числитель и
знаменатель целые. Если их одновременно
увеличить на 2, то дробь окажется больше 1/3, а если
из них одновременно вычесть 3, то дробь станет
меньше 1/10, но неотрицательной. Найти числитель и
знаменатель дроби. Ответ: 4/15.

В) Из двух целых положительных чисел второе
больше квадрата первого. Сумма квадрата разности
первого числа и 3 и квадрата разности второго и 4
меньше 4. Найти эти числа. Ответ: х=2, у=5.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *